Question

यदि 1 + sin²θ = 3sinθ cosθ है, तो सिद्ध कीजिए कि tanθ = 1 या `1/2` है।

Answer 1

दिया गया है: 1 + sin² θ = 3 sin θ cos θ

L.H.S और R.H.S समीकरणों को sin²θ से विभाजित करने पर,

हम पाते हैं,

`(1 + sin^2 theta)/(sin^2 theta) = (3 sin theta cos theta)/(sin^2 theta)`

⇒ `1/(sin^2 theta) + 1 = (3 cos theta)/(sin theta)`

cosec² θ + 1 = 3 cot θ

चूँकि, cosec² θ – cot² θ = 1 

⇒ cosec² θ = cot² θ + 1

⇒ cot² θ + 1 + 1 = 3 cot θ

⇒ cot² θ + 2 = 3 cot θ

⇒ cot² θ – 3 cot θ + 2 = 0

मध्य पद को विभाजित करना और फिर समीकरण को हल करना,

⇒ cot² θ – cot θ – 2 cot θ + 2 = 0

⇒ cot θ(cot θ – 1) – 2(cot θ + 1) = 0

⇒ (cot θ – 1)(cot θ – 2) = 0

⇒ cot θ = 1, 2

चूँकि,

tan θ = `1/(cot theta)`

tan θ = 1, `1/2`

अत: सिद्ध हुआ।