Question

वक्र 9y² = x³ पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तःखण्ड बनाता है-

Options

• `(4 +- 8/3)`

• `(4, - 8/3)`

• `(4, +- 3/8)`

• `(+- 4, 3/8)`

Answer 1

`(4 +- 8/3)`

स्पष्टीकरण-

वक्र 9y² = x³

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`18 "y" "dy"/"dx" = 3x^2`

`therefore "dy"/"dx" = (3x^2)/(18 "y") = x^2/(6 "y")`

बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `= x_1^2/(6"y"_1)`

∴ अभिलंब की प्रवणता = - `1/"m" = (6 "y"_1)/x_1^2`

अभिलंब अक्षों पर समान अंतः खंड बनता है।

∴ प्रवणता = ± 1

 `- (6"y"_1)/x_1^2 = +- 1`   या  6y₁ = ± `x_1^2`       ...(1)

(x₁, y₁) पर वक्र `9 "y"_1^2 = x_1^3`     ...(2)

समीकरण (1) से y₁ का मान (2) में रखने पर,

`9(x_1^2/6)^2 = x_1^3`

`=> 9 xx x_1/36 = x_1^3`

`=> x_1^4 = 4 x_1^3`

`therefore x_1 = 4`

x₁ का मान समीकरण (1) में रखने पर,

`6"y"_1 = +- 16, "y"_1 = +- 16/6 = +- 8/3`

∴ बिन्दु `(4, +- 8/3)`