Question

प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y `= 1/("x" - 1), "x" ne -1` को स्पर्श करती है।

Answer 1

दिया है, वक्र का समीकरण y `= 1/("x" - 1)`

दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर,  `"dy"/"dx" = - 1/(("x" - 1)^2)`      ...(1)

चूँकि स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1         ...(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,

`- 1/("x" - 1)^2 = - 1`

`=> ("x" - 1)^2 = 1`

`=> "x" - 1 = pm 1`

`therefore` x = 0, 2

जब x = 0, तब y`= 1/(0 - 1) = -1`

जब x = 2, तब y `= 1/(2 - 1) = 1/1 = 1`

`therefore` (0, -1) तथा (2, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = - 1

`therefore` (0, -1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण y + 1 = (- 1)(x - 0)

⇒ y + 1 = - x या x + y + 1 = 0

तथा (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण, y - 1 = (-1) (x - 2)

⇒ y - 1 = - x + 2

⇒ y - 1 + x - 2 = 0

`therefore` x + y - 3 = 0

अत: अभीष्ट स्पर्श रेखाओं के समीकरण x + y + 1 = 0 और x + y - 3 = 0 है।