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Question
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B (4, 5) एवं C (6, 3) हैं।
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Solution
रेखा AB का समीकरण,
`"y" - 0 = (5 - 0)/(4 - 2) (x - 2)`
`=> "y" = 5/2 (x - 2)`
रेखा BC का समीकरण
y - 5 = `(3 - 5)/(6 - 4) (x - 4)`
`=> "y - 5" = (- 2)/2 (x - 4)`
`=> "y" - 5 = - x + 4`
`=> "y" = - x + 9`
इस प्रकार रेखा CA का समीकरण,
`"y" - 3 = (0 - 3)/(2 - 6) (x - 6)`
`=> "y - 3" = (- 3)/(- 4) (x - 6)`
`therefore "y" = 3/4 (x - 6) + 3`
`= 3/4 x - 18/4 + 3`
`= 3/4 x - 6/4`
y = `3/4 (x - 2)`
अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ∆AMB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BMNC का क्षेत्रफल – क्षेत्र AANC का क्षेत्रफल
`= 5/2 int_2^4 (x - 2) "dx" + int_4^6 - (x - 9) "dx" - 3/4 int_2^6 (x - 2) "dx"`
`= 5/2 [(x - 2)^2/2]_2^4 - [(x - 9)^2/2]_4^6 - 3/4 [((x - 2)^2)/2]_2^6`
`= 5/4 [2^2 - 0] - 1/2 [(- 3)^2 - (- 5)^2] - 3/8 [(4)^2 - 0]`
`= 5/4 xx 4 - 1/2 [9 - 25] - 3/8 (16 - 0)`
`= 5 - 1/2 [- 16] - 3/8(16)`
= 5 + 8 - 6
= 7 वर्ग इकाई
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