Question

`(sin θ - cos θ + 1)/(sin θ + cos θ - 1) = 1/(sec θ - tan θ)`

Answer 1

आपल्याला माहीत आहे, की

sin²θ + cos²θ = 1 

∴ 1 – sin²θ = cos²θ 

∴ (1 – sin θ) (1 + sin θ) = cos θ.cos θ

∴ `(1 + sin θ)/(cos θ) = (cos θ)/(1 - sin θ)`

∴ समान गुणोत्तरांच्या सिद्धांतावरून,

`(1 + sin θ)/(cos θ) = (cos θ)/(1 - sin θ) = (1 + sin θ - cos θ)/(cos θ - (1 - sin θ))`

`(1 + sin θ)/(cos θ) = (cos θ)/(1 - sin θ) = (sin θ - cos θ + 1)/(cos θ - 1 + sin θ)`

∴ `(sin θ - cos θ + 1)/(sin θ + cos θ - 1) = (1 + sin θ)/(cos θ)`  ....(i)

आता लक्षात घेऊ, की

`1/(sec θ - tan θ)`

= `1/(sec θ - tan θ) xx (sec θ + tan θ)/(sec θ + tan θ)` ............[छेदाचे परिमेयकरण करून]

= `(sec θ + tan θ)/(sec^2θ - tan^2θ)`

= `(sec θ + tan θ)/1` .....`[(∵ 1 + tan^2θ = sec^2θ), (∴ sec^2θ - tan^2θ = 1)]`

= `1/cos θ + sin θ/cos θ`

∴ `1/(sec θ - tan θ) = (1 + sin θ)/(cos θ)`  ...(ii)

(i) व (ii) वरून,

`(sin θ - cos θ + 1)/(sin θ + cos θ - 1) = 1/(sec θ - tan θ)`