Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
Advertisements
Solution
मान लीजिए कि ABCD एक समचतुर्भुज है, जो केंद्र OOO वाले वृत्त को बाह्य रूप से स्पर्श करता है, जहाँ AB, BC, CD और DA वृत्त को क्रमशः बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करते हैं। हमें ज्ञात है कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।
AP = AS .... (i) [A से स्पर्श रेखाएं]
BP = BQ …. (ii) [B से स्पर्शरेखा]
CR = CQ …. (iii) [C से स्पर्शरेखा]
DR = DS …. (iv) [D से स्पर्शरेखा]
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS [From (i), (ii), (iii), (iv)]
= (AS + DS) + (BQ + CQ)
= AD + BC
इसलिए, (AB + CD) = (AD + BC)
2AB = 2AD
[∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
⇒ AB = AD
∴ CD = AB = AD = BC
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने साम्ने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
यदि त्रिज्या 3 cm वाले एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ ऐसी खींची जाएँ कि उनके बीच का कोण 60° हो, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई होगी ______।
केंद्र O वाले वृत्त पर किसी बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई OP से सदैव छोटी होती है।
केंद्र O वाले एक वृत्त पर एक बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैंसिद्ध कीजिए कि QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
यदि केंद्र O वाले एक वृत्त के एक बाहरी बिंदु B से दो स्पर्श रेखाएँ BC और BD इस प्रकार खींची जाएँ कि ∠DBC = 120° है, तो सिद्ध कीजिए कि BC + BD = BO है, अर्थात् BO = 2BC है।
सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र इन रेखाओं से बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
आकृति में, AB और CD असमान त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि AB = CD हैं।
आकृति में, दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
