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Question
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, केंद्र से संपर्क बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा अंतरित कोण का संपूरक होता है।
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Solution
दिया है: PA और PB एक बिंदु P से O केंद्र वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा हैं। साथ ही, रेखा खंड OA और OB भी खींचे गए हैं।
सिद्ध करना: ∠APB + ∠AOB = 180°
उपपत्ति: हम जानते हैं कि वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अब, समकोण ΔOAP और समकोण ΔOBP में, हमारे पास PA = PB है...[बाहरी बिंदु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ]
OA = OB ...[एक ही वृत्त की त्रिज्या]
OP= OP ....[सामान्य]
ΔOAP ≅ ΔOBP
∠OPA = ∠OPB
और ∠AOP = ∠BOP
⇒∠APB = 2∠OPA तथा ∠AOB = 2∠AOP
दाईं ओर ΔOAP
⇒∠AOP + ∠OPA + ∠PAO = 180°
⇒∠AOP = 180° − 90° − ∠OPA
⇒∠AOP = 90° − ∠OPA
⇒2∠AOP = 180° − 2∠OPA
⇒∠AOB = 180° − ∠APB
⇒∠AOB + ∠APB = 180°
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