Question

4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए दिया गया वृत्त त्रिभुज की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु E और F पर स्पर्श करता है और रेखाखंड AF की लंबाई x है।

 ΔABC में,

CF = CD = 6cm          ....(बिंदु C से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं)

BE = BD = 8cm          ....(बिंदु B से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं)

AE = AF = x              ....(बिंदु A से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ)

AB = AE + EB = x + 8

BC = BD + DC = 8 + 6 = 14

CA = CF + FA = 6 + x 

2s = AB + BC + CA

= x + 8 + 14 + 6 + x

= 28 + 2x

S = 14 + x

`"त्रिभुज का क्षेत्रफल" ABC = sqrt(s(s-1)(s-b)(s-c))`

`=sqrt({14+x}{(14+x)-14}{(14+x)-(6+x)}{(14+x)-(8+x)})`

`=sqrt((14+x)(x)(8)(6))`

`=4sqrt(3(14x+x^2))`

`"त्रिभुज OBC का क्षेत्रफल" = 1/2xxODxxBC `

`= 1/2xx4xx14 `

= 28

त्रिभुज OCA का क्षेत्रफल = `1/2xxOFxxAC `

`= 1/2xx4xx(6+x)` 

`= 12+2x`

`"त्रिभुज"  OAB  "का क्षेत्रफल" = 1/2xxOExxAB`

` = 1/2xx4xx(8+x) `

`= 16+2x`

ABC का क्षेत्रफल = OBC का क्षेत्रफल + OCA का क्षेत्रफल + OAB का क्षेत्रफल

`4sqrt(3(14x+x^2)) = 28+12+2x+16+2x`

`4sqrt(3(14x+x^2)) = 56+4x`

`=> (3(14x+x^2)) = 14+x`

`=>3(14x+x^2) = (14+x)^2`

`=>42x+3x^2=196+x^2+28x`

`=>2x^2+14x-196 = 0`

`=>x^2+7x-98 = 0`

`=>x^2+14x-7x-98= 0`

`=>x(x+14)-7(x+14) = 0`

=>(x + 14) (x − 7) = 0

या तो x + 14 = 0 या x − 7 = 0

इसलिए, x = −14 और 7

हालांकि, x = −14 संभव नहीं है क्योंकि भुजाओं की लंबाई ऋणात्मक होगी।

इसलिए, x = 7

अत: AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 सेमी

BC = 8 + 6 = 14  सेमी

CA = 6 + x = 6 + 7 = 13 सेमी