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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, केंद्र से संपर्क बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा अंतरित कोण का संपूरक होता है।
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उत्तर
दिया है: PA और PB एक बिंदु P से O केंद्र वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा हैं। साथ ही, रेखा खंड OA और OB भी खींचे गए हैं।
सिद्ध करना: ∠APB + ∠AOB = 180°
उपपत्ति: हम जानते हैं कि वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अब, समकोण ΔOAP और समकोण ΔOBP में, हमारे पास PA = PB है...[बाहरी बिंदु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ]
OA = OB ...[एक ही वृत्त की त्रिज्या]
OP= OP ....[सामान्य]
ΔOAP ≅ ΔOBP
∠OPA = ∠OPB
और ∠AOP = ∠BOP
⇒∠APB = 2∠OPA तथा ∠AOB = 2∠AOP
दाईं ओर ΔOAP
⇒∠AOP + ∠OPA + ∠PAO = 180°
⇒∠AOP = 180° − 90° − ∠OPA
⇒∠AOP = 90° − ∠OPA
⇒2∠AOP = 180° − 2∠OPA
⇒∠AOB = 180° − ∠APB
⇒∠AOB + ∠APB = 180°
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