Question

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने साम्ने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

Answer 1

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जो O पर केन्द्रित एक वृत्त के परिगत इस प्रकार है कि वह वृत्त को बिंदु P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। आइए हम चतुर्भुज ABCD के शीर्षों को वृत्त के केंद्र से मिलाइए। ΔOAP और ΔOAS पर विचार करें,

AP = AS (एक ही बिंदु से स्पर्श रेखाएं)

OP = OS           ....(एक ही वृत्त की त्रिज्या)

OA = OA              ....(सामान्य पक्ष)

ΔOAP  ≅ ΔOAS 

इसलिए, A ↔ A, P ↔ S, O ↔ O

और इस प्रकार, ∠POA = ∠AOS

∠1 = ∠8

इसी तरह,

∠2 = ∠3

∠4 = ∠5

∠6 = ∠7

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360º

(∠1 + ∠8) + (∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5) + (∠6 + ∠7) = 360º

2∠1 + 2∠2 + 2∠5 + 2∠6 = 360º

2(∠1 + ∠2) + 2(∠5 + ∠6) = 360º

(∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = 180º

∠AOB + ∠COD = 180º

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि ∠BOC + ∠DOA = 180º

अत: वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।