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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने साम्ने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
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उत्तर
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जो O पर केन्द्रित एक वृत्त के परिगत इस प्रकार है कि वह वृत्त को बिंदु P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। आइए हम चतुर्भुज ABCD के शीर्षों को वृत्त के केंद्र से मिलाइए। ΔOAP और ΔOAS पर विचार करें,
AP = AS (एक ही बिंदु से स्पर्श रेखाएं)
OP = OS ....(एक ही वृत्त की त्रिज्या)
OA = OA ....(सामान्य पक्ष)
ΔOAP ≅ ΔOAS
इसलिए, A ↔ A, P ↔ S, O ↔ O
और इस प्रकार, ∠POA = ∠AOS
∠1 = ∠8
इसी तरह,
∠2 = ∠3
∠4 = ∠5
∠6 = ∠7
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360º
(∠1 + ∠8) + (∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5) + (∠6 + ∠7) = 360º
2∠1 + 2∠2 + 2∠5 + 2∠6 = 360º
2(∠1 + ∠2) + 2(∠5 + ∠6) = 360º
(∠1 + ∠2) + (∠5 + ∠6) = 180º
∠AOB + ∠COD = 180º
इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि ∠BOC + ∠DOA = 180º
अत: वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
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