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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
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उत्तर
मान लिया कि O केन्द्र वाला एक वृत्त है।
मान लिया कि AB इस वृत्त का व्यास है।
मान लिया RS और PQ वृत्त के व्यास AB के दोनों सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ हैं।
अत: प्रमाणित करना है कि RS और PQ समांतर हैं।
चूँकि RS बिन्दु A पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है तथा OA उसी वृत्त की त्रिज्या है।
∴ OA ⊥ RS
∴ ∠ OAR = 90°
और, ∠ OAS = 90°
उसी तरह, OB उसी वृत्त की दूसरी त्रिज्या है तथा PQ वृत के बिन्दु B पर स्पर्श रेखा है।
अत:, OB ⊥ PQ
और ∠ OBP = OBQ = 90°
अब, ∠ OAR = ∠ OBQ = 90° [एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]
और ∠ OAS = ∠ OBP = 90° [एकांतर अंत: कोण हैं।]
चूँकि एकांतर अंत: कोण RS और PQ बराबर है।
अत: RS समांतर है PQ के
अत: किसी वृत के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
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