Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
Advertisements
Solution
मान लिया कि O केन्द्र वाला एक वृत्त है।
मान लिया कि AB इस वृत्त का व्यास है।
मान लिया RS और PQ वृत्त के व्यास AB के दोनों सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ हैं।
अत: प्रमाणित करना है कि RS और PQ समांतर हैं।
चूँकि RS बिन्दु A पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा है तथा OA उसी वृत्त की त्रिज्या है।
∴ OA ⊥ RS
∴ ∠ OAR = 90°
और, ∠ OAS = 90°
उसी तरह, OB उसी वृत्त की दूसरी त्रिज्या है तथा PQ वृत के बिन्दु B पर स्पर्श रेखा है।
अत:, OB ⊥ PQ
और ∠ OBP = OBQ = 90°
अब, ∠ OAR = ∠ OBQ = 90° [एकांतर अंत: कोणों के युग्म हैं।]
और ∠ OAS = ∠ OBP = 90° [एकांतर अंत: कोण हैं।]
चूँकि एकांतर अंत: कोण RS और PQ बराबर है।
अत: RS समांतर है PQ के
अत: किसी वृत के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है सिद्ध कीजिए AB + CD = AD + BC
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त स्पर्श करती हो।
आकृति में XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90°
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, केंद्र से संपर्क बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा अंतरित कोण का संपूरक होता है।
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
केंद्र O वाले वृत्त पर किसी बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई OP से सदैव छोटी होती है।
वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 0° हो सकता है।
केंद्र O वाले एक वृत्त पर एक बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैंसिद्ध कीजिए कि QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
यदि केंद्र O वाले एक वृत्त के एक बाहरी बिंदु B से दो स्पर्श रेखाएँ BC और BD इस प्रकार खींची जाएँ कि ∠DBC = 120° है, तो सिद्ध कीजिए कि BC + BD = BO है, अर्थात् BO = 2BC है।
केंद्र O और त्रिज्या 5 cm वाले एक वृत्त के केंद्र से 13 cm की दूरी पर एक बिंदु A है। AP और AQ क्रमश: बिंदुओं P और Q पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि लघु चाप PQ पर स्थित एक बिंदु R पर एक स्पर्श रेखा BC ऐसी खींची जाए, जो AP को B और AQ को C पर प्रतिच्छेद करे, तो ΔABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
