Question

आकृति में XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90°

Answer 1

मान लिजीये कि दी गई आकृति में O तथा C को मिलाया गया,

Δ OPA और Δ OCA में,

OP = OC ...(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

AP = AC ......(बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)

AO = AO ....(उभयनिष्ठ भुजा)

ΔOPA ≅ ΔOCA (समरूपता के आधार पर)

इसलिए, P ↔ C, A ↔ A, तथा O ↔ O

∠POA = ∠COA … (i)

इसी प्रकार, ΔOQB ≅ ΔOCB

∠QOB = ∠COB … (ii)

दी गई आकृत्ति में, POQ वृत्त का व्यास है, इसलिए यह एक सीधी रेखा है।

इसलिए, ∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180º

समीकरण (i) और (ii) से, यह देखा जा सकता है कि,

2∠COA + 2 ∠COB = 180º

∠COA + ∠COB = 90º

∠AOB = 90°

Answer 2

मान लिजीये कि दी गई आकृति में O तथा C को मिलाया गया

Δ OPA और Δ OCA में,

OP = OC

[∵ OP और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

AP और AC एक ही बिन्दु A से एक ही वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ है।

अत:, AP = AC

AO = AO

[दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है]

अत: SSS समरूपता के आधार पर

ΔOPA ≅ ΔOCA

अत:, ∠POA = ∠COA                  .....(i)

उसी तरह, Δ OQB ≅ Δ OCB

अत:, ∠ QOB = ∠ COB                 ...(ii)

दी गई आकृत्ति में, POQ वृत्त का व्यास है, अर्थात POQ एक सरल रेखा है।

अत:, ∠POA + ∠COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180°

⇒ ∠COA + ∠ COA + ∠COB + ∠QOB = 180°

[∵ समीकरण (i) के अनुसार ∠ POA = ∠ COA]

⇒ 2 ∠COA + + ∠ COB + ∠ QOB = 180°

⇒ 2 ∠COA + + ∠COB + ∠COB = 180°

[∵ समीकरण (ii) के अनुसार ∠ QOB = ∠ COB]

⇒ 2 ∠COA + 2 ∠COB = 180°

⇒ ∠COA + ∠COB = `180/2` = 90°

अब चूँकि, ∠AOB = ∠COA + ∠COB

∴ ∠AOB = 90⁰