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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
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उत्तर
मान लीजिए कि ABCD एक समचतुर्भुज है, जो केंद्र OOO वाले वृत्त को बाह्य रूप से स्पर्श करता है, जहाँ AB, BC, CD और DA वृत्त को क्रमशः बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करते हैं। हमें ज्ञात है कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।
AP = AS .... (i) [A से स्पर्श रेखाएं]
BP = BQ …. (ii) [B से स्पर्शरेखा]
CR = CQ …. (iii) [C से स्पर्शरेखा]
DR = DS …. (iv) [D से स्पर्शरेखा]
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS [From (i), (ii), (iii), (iv)]
= (AS + DS) + (BQ + CQ)
= AD + BC
इसलिए, (AB + CD) = (AD + BC)
2AB = 2AD
[∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
⇒ AB = AD
∴ CD = AB = AD = BC
अत: ABCD एक समचतुर्भुज है।
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