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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र इन रेखाओं से बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
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उत्तर
दिया गया है: केंद्र O वाले वृत्त के बाहरी बिंदु P से दो स्पर्शरेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं।
सिद्ध करने के लिए: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को छूने वाले वृत्त का केंद्र स्पर्श रेखाओं से बने कोण के कोण समद्विभाजक पर स्थित होता है।
निर्माण: OR और OQ को मिलाएँ।
∆POR और ∆POQ में,
∠PRO = ∠PQO = 90° ...[वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है।]
OR = OQ ...[समान वृत्त की त्रिज्या]
चूंकि, ओपी आम है।
∴ ∆PRO ≅ ∆PQO ...[RHS]
अतः, ∠RPO = ∠QPO ...[CPCT द्वारा]
इस प्रकार, O, PR और PQ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।
अत: सिद्ध हुआ।
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