Question

सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र इन रेखाओं से बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।

Answer 1

दिया गया है: केंद्र O वाले वृत्त के बाहरी बिंदु P से दो स्पर्शरेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं।

सिद्ध करने के लिए: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को छूने वाले वृत्त का केंद्र स्पर्श रेखाओं से बने कोण के कोण समद्विभाजक पर स्थित होता है।

निर्माण: OR और OQ को मिलाएँ।

∆POR और ∆POQ में,

∠PRO = ∠PQO = 90°  ...[वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है।]

OR = OQ   ...[समान वृत्त की त्रिज्या]

चूंकि, ओपी आम है।

∴ ∆PRO ≅ ∆PQO  ...[RHS]

अतः, ∠RPO = ∠QPO  ...[CPCT द्वारा]

इस प्रकार, O, PR और PQ के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।

अत: सिद्ध हुआ।