Question

किसी वृत्त की बिंदु C पर खींची गई स्पर्श रेखा और व्यास AB बढ़ाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠PCA = 110° है, तो ∠CBA ज्ञात कीजिए।  

Answer 1

यहाँ, बिंदु C से AB वृत्त का व्यास है और एक स्पर्श रेखा खींची गई है जो बिंदु P पर मिलती है।

OC से जुड़ें।

यहाँ, OC त्रिज्या है।

चूँकि, वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा, संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।

∴ OC ⊥ PC

अब, ∠PCA = 110°   ...[दिया गया है।]

⇒ ∠PCO + ∠OCA = 110°

⇒ 90° + ∠OCA = 110°

⇒ ∠OCA = 20°

∴ OC = OA = वृत्त की त्रिज्या

⇒ ∠OCA = ∠OAC = 20°   ...[चूँकि, दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।]

चूँकि, PC एक स्पर्शरेखा है,

तो ∠BCP = ∠CAB = 20°   ...[एक वैकल्पिक खंड में कोण बराबर होते हैं।]

ΔPBC में,

∠P + ∠C + ∠A = 180°

∠P = 180° – (∠C + ∠A)

= 180° – (110° + 20°)

= 180° – 130°

= 50°

ΔPBC में,

∠BPC + ∠PCB + ∠PBC = 180°  ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]

⇒ 50° + 20° + ∠PBC = 180°

⇒ ∠PBC = 180° – 70°

⇒ ∠PBC = 110°

चूँकि, APB एक सीधी रेखा है।

∴ ∠PBC + ∠CBA = 180°

⇒ ∠CBA = 180° – 110° = 70°