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प्रश्न
किसी वृत्त की बिंदु C पर खींची गई स्पर्श रेखा और व्यास AB बढ़ाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠PCA = 110° है, तो ∠CBA ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
यहाँ, बिंदु C से AB वृत्त का व्यास है और एक स्पर्श रेखा खींची गई है जो बिंदु P पर मिलती है।
OC से जुड़ें।
यहाँ, OC त्रिज्या है।
चूँकि, वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा, संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।
∴ OC ⊥ PC
अब, ∠PCA = 110° ...[दिया गया है।]
⇒ ∠PCO + ∠OCA = 110°
⇒ 90° + ∠OCA = 110°
⇒ ∠OCA = 20°
∴ OC = OA = वृत्त की त्रिज्या
⇒ ∠OCA = ∠OAC = 20° ...[चूँकि, दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।]
चूँकि, PC एक स्पर्शरेखा है,
तो ∠BCP = ∠CAB = 20° ...[एक वैकल्पिक खंड में कोण बराबर होते हैं।]
ΔPBC में,
∠P + ∠C + ∠A = 180°
∠P = 180° – (∠C + ∠A)
= 180° – (110° + 20°)
= 180° – 130°
= 50°
ΔPBC में,
∠BPC + ∠PCB + ∠PBC = 180° ...[किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]
⇒ 50° + 20° + ∠PBC = 180°
⇒ ∠PBC = 180° – 70°
⇒ ∠PBC = 110°
चूँकि, APB एक सीधी रेखा है।
∴ ∠PBC + ∠CBA = 180°
⇒ ∠CBA = 180° – 110° = 70°
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