Question

आकृति में, केंद्रों O और O' वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ AB और CD परस्पर E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि बिंदु O, E, O' संरेखी हैं।

Answer 1

AO, OC और O'D, O'B को जोड़ें।

अब, ∆EO'D और ∆EO'B में,

O’D = O’B

O’E = O’E

ED = EB  ...[बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएं लंबाई में बराबर होती हैं।]

∴ EO’D ≅ ∆ EO’B   ...[SSS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा]

⇒ ∠O’ED = ∠O’EB   ...(i)

अर्थात्, O'E, ∠DEB का कोण समद्विभाजक है।

इसी प्रकार, OE ∠AEC का कोण समद्विभाजक है।

अब, चतुर्भुज DEBO' में।

∠O’DE = ∠O’BE = 90°  ...[CED वृत्त की एक स्पर्श रेखा है और O'D त्रिज्या है, अर्थात, O'D ⊥ CED]

⇒ ∠O’DE + ∠O’BE = 180°

∴ ∠DEB + ∠DO’B = 180°  ...(ii) [∵ DEBO' चक्रीय चतुर्भुज है।]

चूँकि, AB एक सीधी रेखा है।

∴ ∠AED + ∠DEB = 180°

⇒ ∠AED + 180° – ∠DO’B = 180°   ...[From (ii)]

⇒ ∠AED = ∠DO’B   ...(iii)

इसी प्रकार, ∠AED = ∠AOC  ...(iv)

पुनः समीकरण (ii) से,

∠DEB = 180° – ∠DO’B

दोनों ओर 2 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है।

`1/2 ∠"DEB" = 90^circ - 1/2 ∠"DO'B"`

⇒ ∠DE'O = 90° `-1/2` ∠DO'B    ...(v) [∵ O'E, ∠DEB का कोण समद्विभाजक है अर्थात `1/2` ∠DEB = ∠DEO']

इसी प्रकार, ∠AEC = 180° – ∠AOC

दोनों ओर 2 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है।

`1/2 ∠"AEC" = 90^circ - 1/2 ∠"AOC"`

⇒ `∠"AEO" = 90^circ - 1/2 ∠"AOC"`  ...(vi) [∵ OE, ∠AEC का कोण समद्विभाजक है, अर्थात, `1/2 ∠"AEC" = ∠"AEO" `]

अब, ∠AED + ∠DEO' + ∠AEO = ∠AED + `(90^circ - 1/2 ∠"DO'B") + (90^circ - 1/2 ∠"AOC")`

= `∠"AED" + 180^circ - 1/2 (∠"DO'B" + ∠"AOC")`

= `∠"AED" + 180^circ - 1/2 (∠"AED" + ∠"AED")`  ...[समीकरण (iii) और (iv) से]

= `∠"AED" + 180^circ - 1/2 (2 xx ∠"AED")`

= ∠AED + 180° – ∠AED = 180°

∴ ∠AED + ∠DEO' + ∠AEO = 180°

तो, OEO' सीधी रेखा है।

अतः, O, E और O' संरेख हैं।