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Question
किसी स्कूल के विद्यार्थी ड्रिल अभ्यास के लिए, अपने खेल के मैदान में पंक्तियों और स्तंभों में खड़े हैं। A, B, C और D किन्ही चार विद्यार्थियों के स्थान हैं, जैसा आकृति में दर्शाया गया है। क्या यह संभव है कि इस ड्रिल में जसपाल को ऐसे स्थान पर खड़ा कर दिया जाए कि वह A, B, C और D से समदूरस्थ हो? यदि ऐसा है तो उसकी स्थिति कहाँ होगी?
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Solution
हाँ, आकृति से हम देखते हैं कि चार छात्रों A, B, C और D की स्थिति क्रमशः (3, 5), (7, 9), (11, 5) और (7,1) है, अर्थात ये के ऊपर चार चतुर्भुज हैं।
अब, हम इस चतुर्भुज का प्रकार ज्ञात करेंगे।
इसके लिए हम इसके सभी पक्ष तलाशेंगे।
हम देखते हैं कि, AB = BC = CD = DA अर्थात सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अब, AB = `sqrt((7 - 3)^2 + (9 - 5)^2` ...`["दूरी सूत्र द्वारा", d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`
AB = `sqrt((4)^2 + (4)^2`
= `sqrt(16 + 16)`
AB = `4sqrt(2)`
BC = `sqrt((11 - 7)^2 + (5 - 9)^2`
= `sqrt((4)^2 + (-4)^2`'
= `sqrt(16 + 16)`
= `4sqrt(2)`
CD = `sqrt((7 - 11)^2 + (1 - 5)^2`
= `sqrt((-4)^2 + (-4)^2`
= `sqrt(16 + 16)`
= `4sqrt(2)`
और DA = `sqrt((3 - 7)^2 + (5 - 1)^2`
= `sqrt((-4)^2 + (4)^2`
= `sqrt(16 + 16)`
= `4sqrt(2)`
हम देखते हैं कि, AB = BC = CD = DA यानी, सभी पक्ष बराबर हैं।
अब, हम दोनों विकर्णों की लंबाई ज्ञात करते हैं।
AC = `sqrt((11 - 3)^2 + (5 - 5)^2`
= `sqrt((8)^2 + 0)`
= 8
और BD = `sqrt((7 - 7)^2 + (1 - 9)^2`
= `sqrt(0 + (-8)^2`
= 8
यहाँ, AC = BD
चूँकि, AB = BC = CD = DA और AC = BD
जो एक वर्ग को दर्शाता है।
यह भी जाना जाता है कि एक वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
तो, P जसपाल की स्थिति है जिसमें वह चार छात्रों A, B, C और D में से प्रत्येक से समान दूरी पर है।
∴ बिंदु P के निर्देशांक = AC का मध्य-बिंदु
= `((3 + 11)/2, (5 + 5)/2)` ...`[∵ "चूंकि, बिंदुओं वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु" (x_1, y_1) "and" (x_2, y_2) = ((x_1 + y_1)/2, (x_2 + y_2)/2)]`
= `(14/2, 10/2)`
= `(7, 5)`
इसलिए, जसपल की आवश्यक स्थिति (7, 5) है।
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