Question

k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि x² + 2x + k बहुपद 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6 का एक गुणनखंड हो जाए। इन दोनों बहुपदों के सभी शून्यक भी ज्ञात कौजिए।

Answer 1

विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं,

                      `2x^2 - 3x + (-8 - 2k)`
`x^2 + 2x + k")"overline(2x^4 + x^3 - 14x^2 + 5x + 6)`
                      2x⁴ + 4x³ + 2kx²
                      (–)  (–)     (–)
                                                                           
                           –3x³ – (2k + 14)x² + 5x + 6
                           –3x³ – 6x²              – 3kx
                           (+)  (+)                  (+)

                                                                             
                           (–8 – 2k)x² + (3k + 5)x + 6
                           (–8 – 2k)x² + 2(–8 – 2k)x + k(–8 – 2k)
                           (–)             (–)                  (–)

                                                                              
                                   (7k + 21)x + (6 + 8k + 2k²)

चूँकि, (x² + 2x + k) 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6 का एक गुणनखंड है।

तो, शेषफल शून्य होना चाहिए।

⇒ (7k + 21 )x + (2k² + 8k + 6) = 0 – x + 0

⇒ 7k + 21 = 0 और 2k² + 8k + 6 = 0

⇒ k = –3 या k² + 4k + 3 = 0

⇒ k² + 3k + k + 3 = 0

⇒ (k + 1)(k + 3) = 0

⇒ k = –1 or –3

k = –3 के लिए शेषफल शून्य है।

∴ k = –3 का अभीष्ट मान

साथ ही, भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

⇒ 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6 = (x² + 2x – 3)(2x² – 3x – 2)

= (x² + 3x – x – 3)(2x² – 4x + x – 2)

= (x – 1)(x + 3)(x – 2)(2x + 1)

अतः x² + 2x – 3 के शून्य 1, –3 हैं और 2x² – 3x – 2 के शून्य `2, - 1/2` हैं।

इस प्रकार, 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6 के शून्यक 1, –3, `- 1/2` हैं।