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Question
a और b के किन मानों के लिए, q(x) = x3 + 2x2 + a के शून्यक बहुपद p(x) = x5 – x4 – 4x3 + 3x2 + 3x + b के भी शून्यक होंगे? p(x) के कौन से शून्यक q(x) के शून्यक नहीं है?
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Solution
चूँकि q(x) = x2 + 2x2 + a के शून्यक भी बहुपद के शून्यक होते हैं,
p(x) = x5 – x4 – 4x3 + 3x2 + 3x + b
तो, q(x) p(x) का एक गुणनखंड है।
फिर, हम एक विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं।
`x^3 - 3x + 2`
`x^3 + 2x^2 + a")"overline(x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b)`
x5 + 2x4 + ax2
(–) (–) (–)
–3x4 – 4x3 + (3 – a)x2 + 3x + b
–3x4 – 6x3 – 3ax
(+) (+) (+)
2x3 + (3 – a)x2 + (3 + 3a)x + b
2x3 + 4x2 + 2a
(–) (–) (–)
–(1 + a)x2 + (3 + 3a)x + (b – 2a)
⇒ –(1 + a)x2 + (3 + 3a)x + (b – 2a) = 0
= 0.x2 + 0.x + 0
x2 और स्थिर पद के गुणांक की तुलना करने पर, हम पाते हैं,
a + 1 = 0
⇒ a = – 1
और b – 2a = 0
⇒ b = 2a
⇒ b = 2(–1) = –2
a = –1 और b = –2 के लिये,
q(x) के शून्यक बहुपद p(x).q(x) के शून्यक भी हैं = x3 + 2x2 – 1
और p(x) = x5 – x4 – 4x3 + 3x2 + 3x – 2
चूंकि, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष
p(x) = (x3 + 2x2 – 1)(x2 – 3x + 2) + 0
= (x3 + 2x2 – 1)(x – 2)(x – 1)
अतः p(x) के शून्यक 1 और 2 हैं जो q(x) के शून्यक नहीं हैं।
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