Question

a और b के किन मानों के लिए, q(x) = x³ + 2x² + a के शून्यक बहुपद p(x) = x⁵ – x⁴ – 4x³ + 3x² + 3x + b के भी शून्यक होंगे? p(x) के कौन से शून्यक q(x) के शून्यक नहीं है?

Answer 1

चूँकि q(x) = x² + 2x² + a के शून्यक भी बहुपद के शून्यक होते हैं, 

p(x) = x⁵ – x⁴ – 4x³ + 3x² + 3x + b

तो, q(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

फिर, हम एक विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं।

                         `x^3 - 3x + 2`
`x^3 + 2x^2 + a")"overline(x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x + b)`
                       x⁵ + 2x⁴             + ax²
                      (–)  (–)                (–)                        
                            –3x⁴ – 4x³ + (3 – a)x² + 3x + b
                            –3x⁴ – 6x³                  – 3ax
                          (+)  (+)                       (+)            
                            2x³ + (3 – a)x² + (3 + 3a)x + b
                            2x³ + 4x²                            + 2a
                         (–)   (–)                                 (–)     
                          –(1 + a)x² + (3 + 3a)x + (b – 2a)

⇒ –(1 + a)x² + (3 + 3a)x + (b – 2a) = 0

= 0.x² + 0.x + 0

x² और स्थिर पद के गुणांक की तुलना करने पर, हम पाते हैं, 

a + 1 = 0

⇒ a = – 1

और b – 2a = 0

⇒ b = 2a

⇒ b = 2(–1) = –2

a = –1 और b = –2 के लिये,

q(x) के शून्यक बहुपद p(x).q(x) के शून्यक भी हैं  = x³ + 2x² – 1

और p(x) = x⁵ – x⁴ – 4x³ + 3x² + 3x – 2

चूंकि, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

p(x) = (x³ + 2x² – 1)(x² – 3x + 2) + 0

= (x³ + 2x² – 1)(x – 2)(x – 1)

अतः p(x) के शून्यक 1 और 2 हैं जो q(x) के शून्यक नहीं हैं।