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Question
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20-प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पाँसे पर चित प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो तो 'असत्य’ लिखता है। इस की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
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Solution
प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता (p) = पाँसे पर चित आने की प्रायिकता = `1/2`
∴ गलत उत्तर देने की प्रायिकता q = `1 - 1/2 = 1/2` तथा यहाँ पर n = 20
माना प्रयोग में X सफलता संख्या को दर्शाता है
तब P(X = r) =`""^"n""C"_"r" "q"^("n" - "r") "p"^"r"`
∵ 20 परीक्षणों में कम से कम 12 प्रश्नों के सही उत्तर होने के लिए
X = 12, 13, 14, 15, ...., 20
∴ अभीष्ट प्रायिकता = P(कम से कम 12 सही)
= `""^"n""C"_12 "q"^("n" - 12) "p"^12 + ""^"n""C"_13 "q"^("n" - 13) "p"^13 + .... + ""^20"C"_ 20 "p"^20`
= `""^20"C"_12 . (1/2)^(20 - 12). (1/2)^12 + ""^20"C"_13. (1/2)^(20 - 13). (1/2)^13 + .... + ""20"C"_20. (1/2)^20`
= `(1/2)^20 [""^20"C"_12 + ""^20"C"_13 + .... + ""^20"C"_20]`
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