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Question
एक शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
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Solution
माना ABC एक शंकु है। एक छिन्नक DECB को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है।
मान लीजिए r1 और r2 शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ हैं और h शंकु के छिन्नक की ऊँचाई हैं।
In ΔABG and ΔADF, DF||BG
∴ ΔABG ∼ ΔADF
DF/BG = AF/AG = AD/AB
`r_2/r_1 = (h_1-h)/h_1 = (l_1-l)/l_1`
`r_2/r_1 =1 -h/h_1 =1 -l/l_1`
`1-h/h_1= r_2/r_1`
`h/h_1 =1 -r_2/r_1 = (r_1-r_2)/r_1`
`h_1/h= r_1/(r_1-r_2)`
`h_1 = (r_1h)/(r_1-r_2)`
शंकु के छिन्नक का आयतन = शंकु ABC का आयतन - शंकु का आयतन ADE
`=1/3pir_1^2h_1 - 1/3pir_2^2(h_1-h)`
`=pi/3[r_1^2h_1-r_2^2(h_1-h)]`
`=pi/3[r_1^2((hr_1)/(r_1-r_2))-r_2^2((hr_1)/(r_1-r_2)-h)]`
`=pi/3[((hr_1^3)/(r_1-r_2))-r_2^2((hr_1-hr_1+hr_2)/(r_1-r_2))]`
`=pi/3[(hr_1^3)/(r_1-r_2)-(hr_2^3)/(r_1-r_2)]`
`=pi/3h[(r_1^3-r_2^3)/(r_1-r_2)]`
`=pi/3h[((r_1-r_2)(r_1^2+r_2^2+r_1r_2))/(r_1-r_2)]`
`= 1/3pih[r_1^2+r_2^2+r_1r_2]`
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