Advertisements
Advertisements
प्रश्न
एक शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
Advertisements
उत्तर
माना ABC एक शंकु है। एक छिन्नक DECB को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है।
मान लीजिए r1 और r2 शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ हैं और h शंकु के छिन्नक की ऊँचाई हैं।
In ΔABG and ΔADF, DF||BG
∴ ΔABG ∼ ΔADF
DF/BG = AF/AG = AD/AB
`r_2/r_1 = (h_1-h)/h_1 = (l_1-l)/l_1`
`r_2/r_1 =1 -h/h_1 =1 -l/l_1`
`1-h/h_1= r_2/r_1`
`h/h_1 =1 -r_2/r_1 = (r_1-r_2)/r_1`
`h_1/h= r_1/(r_1-r_2)`
`h_1 = (r_1h)/(r_1-r_2)`
शंकु के छिन्नक का आयतन = शंकु ABC का आयतन - शंकु का आयतन ADE
`=1/3pir_1^2h_1 - 1/3pir_2^2(h_1-h)`
`=pi/3[r_1^2h_1-r_2^2(h_1-h)]`
`=pi/3[r_1^2((hr_1)/(r_1-r_2))-r_2^2((hr_1)/(r_1-r_2)-h)]`
`=pi/3[((hr_1^3)/(r_1-r_2))-r_2^2((hr_1-hr_1+hr_2)/(r_1-r_2))]`
`=pi/3[(hr_1^3)/(r_1-r_2)-(hr_2^3)/(r_1-r_2)]`
`=pi/3h[(r_1^3-r_2^3)/(r_1-r_2)]`
`=pi/3h[((r_1-r_2)(r_1^2+r_2^2+r_1r_2))/(r_1-r_2)]`
`= 1/3pih[r_1^2+r_2^2+r_1r_2]`
संबंधित प्रश्न
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप 18 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकार की है। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 सेमी है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 सेमी है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[उपयोग π = 22/7]
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 सेमी है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 सेमी और 20 सेमी हैं। 20 रु प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रु प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से ज्ञात कीजिए। [उपयोग π = 3.14]
20 सेमी ऊँचाई और शीर्ष कोण 60 डिग्री वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समांतर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास `1/16` सेमी वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए। [उपयोग π = `22/7`]
एक गिलास का आकार प्रायः निम्न रूप का होता है-
बैडमिंटन खेलने में प्रयोग की जाने वाली शटलकॉक ( चिड़िया ) का आकार निम्नलिखित का संयोजन ______ है।
एक लंब वृत्तीय शंकु में, उसके आधार के समांतर खींचे गये तल द्वारा काटा गया अनुप्रस्थ-काट होता है एक ______।
शंकु के एक छिन्नक का आयतन `1/3 pih[r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2]` होता है, जहाँ h छिन्नक की ऊर्घ्वाधर ऊँचाई है और r1, r2 सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
शंकु के एक छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πl (r1 + r2) होता है, जहाँ `l = sqrt(h^2 + (r_1 + r _2)^2)` है, r1 और r2 छिन्नक के दोनों सिरों की त्रिज्याएँ हैं तथा h ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
धातु की एक खुली बाल्टी इस आकार जैसी है कि उसी धातु की चादर से बने बेलनाकार (खोखला) आधार पर एक शंकु का छिन्नक रखा हुआ है। इसके लिए प्रयुक्त धातु की चादर का पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर है :
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
