Question

एक बिंदु ज्ञात कीजिए, जो A(–5, 4) और B(–1, 6) से समदूरस्थ हो। ऐसे कितने बिंदु हैं?

Answer 1

मान लीजिए P(h, k) वह बिंदु है जो बिंदु A(–5, 4) और B(–1, 6) से समान दूरी पर है।

∴ PA = PB   ...`[∵ "दूरी सूत्र द्वारा, दूरी" = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`

⇒ (PA)² = (PB)²

⇒ (– 5 – h)² + (4 – k)² = (– 1 – h)² + (6 – k)²

⇒ 25 + h² + 10h + 16 + k² – 8k = 1 + h² + 2h + 36 + k² – 12k

⇒ 25 + 10h + 16 – 8k = 1 + 2h + 36 – 12k

⇒ 8h + 4k + 41 – 37 = 0

⇒ 8h + 4k + 4 = 0

⇒ 2h + k + 1 = 0   ...(i)

AB का मध्य-बिंदु = `((-5 - 1)/2, (4 + 6)/2)` = (– 3, 5)   ...`[∵ "मध्य-बिंदु" = ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`

बिंदु (– 3, 5) पर, समीकरण (i) से,

2h + k = 2(– 3) + 5

= – 6 + 5

= – 1

⇒ 2h + k + 1 = 0

तो, AB का मध्य-बिंदु समीकरण (i) को संतुष्ट करता है।

अत:, अनंत संख्या में बिंदु, वास्तव में सभी बिंदु जो समीकरण 2h + k + 1 = 0 का समाधान हैं, बिंदु A और B से समान दूरी पर हैं।

उपरोक्त समीकरण में h, k को x, y से प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास 2x + y + 1 = 0 है।