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Question
दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन `12/13, (-3)/13, (-4)/13; 4/13, 12/13, 3/13; 3/13, (-4)/13, 12/13` वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
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Solution
दो रेखाएँ जिनकी दिक्-कोसाइन क्रमशः l1, m1, n1 और l2, m2, n2 परस्पर लंबवत् होंगी।
यदि l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
(i) दिक्-कोसाइन `12/13, (-3)/13, (-4)/13; 4/13, 12/13, 3/13` वाली रेखाएँ
यहाँ, l1, m1, n1 का मान क्रमशः `2/13, (-3)/13, (-4)/13`
तथा l2, m2, n2 के मान क्रमशः `4/13, 12/13, 3/13` हैं।
अब, l1l2 + m1m2 + n1n2
= `12/13 xx 4/13 + ((-3)/13) (12/13) + ((-4)/13) (3/13)`
`= 48/169 - 36/169 - 12/169`
= 0
⇒ अतः दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
(ii) दिक्-कोसाइन `4/13, 12/13, 3/13; 3/13, (-4)/13, 12/13` वाली रेखाएँ
अब l1l2 + m1m2 + n1n2
= `4/13 xx 3/13 + 12/13 ((-4)/13) + 3/13 xx (12/13)`
`= 12/169 - 48/169 + 36/169`
= `(12 - 48 + 36)/169`
= 0
⇒ ये दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
(iii) दिक्-कोसाइन `3/13, (-4)/13, 12/13; 12/13, (-3)/13, (-4)/13` वाली रेखाएँ
अब l1l2 + m1m2 + n1n2
= `3/13 xx 12/13 + ((-4)/13) ((-3)/13) + 12/13 xx ((-4)/13)`
`= 36/169 + 12/169 - 48/169`
= `(36 + 12 - 48)/169`
= 0
⇒ दोनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
अतः, दी गई रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
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