Question

बिंदुओं (2, 3) और (−1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।

Answer 1

माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण है (x – h)² + (y – k)² = r².

चूँकि वृत्त बिंदुओं से होकर गुजरता है (2, 3) या (−1, 1)

(2 – h)² + (3 – k)² = r²      ... (i)

(–1 – h)² + (1 – k)² = r²    ... (ii)

चूँकि वृत्त का केंद्र (h, k) रेखा पर स्थित है x – 3y – 11 = 0,

h – 3k = 11     …(iii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

2 – h)² + (3 – k)² = (–1 – h)² + (1 – k)²

⇒ 4 – 4h + h² + 9 – 6k + k² = 1 + 2h + h² + 1 – 2k + k²

⇒ 4 – 4h + 9 – 6k = 1 + 2h + 1 – 2k

⇒ 6h + 4k = 11      ...... (iv)

समीकरणों को हल  करने पर (iii) और (iv) हम प्राप्त  करते हैं `"h" = 7/2` और `"k" = (-5)/2`

के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर h और k समीकरण (i) में, हम प्राप्त करते हैं

`(2 - 7/2)^2 + (3 + 5/2)^2 = r^2`

= `((4 - 7)/2)^2 + ((6 + 5)/2)^2 = r^2`

= `((-3)/2)^2 + (11/2)^2 = r^2`

= `9/4 + 121/4 = r^2`

= `130/4 = r^2`

इस प्रकार, अभीष्ट वृत्त का समीकरण है

= `("x" - 7/2)^2 + ("y" + 5/2)^2 = 130/4`

= `(2"x" - 7)^2/2 + (2"y" + 5)^2/2 = 130/4`

= 4x² − 28x + 49 + 4y² + 20y + 2 = 130

= 4x² + 4y² − 28x + 20y − 56 = 0

= 4(x² + y² − 7x + 5y − 14) = 0

= x² + y² − 7x + 5y − 14 = 0