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Question
बिंदुओं (4, 1) और (6, 5) से जाने वाले वृत्त का समीकरण कीजिए जिसका केंद्र रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है।
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Solution
माना आवश्यक वृत्त का समीकरण (x – h)2 + (y – k)2 = r2 है।
चूँकि वृत्त बिंदु (4, 1) और (6, 5) से होकर जाती है,
(4 – h)2 + (1 – k)2 = r2 … (1)
(6 – h)2 + (5 – k)2 = r2 … (2)
चूँकि वृत्त का केंद्र (h, k) रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है,
4h + k = 16 …(3)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
(4 – h)2 + (1 – k)2 = (6 – h)2 + (5 – k)2
⇒ 16 – 8h + h2 + 1 – 2k + k2 = 36 – 12h + h2 + 25 – 10k + k2
⇒ 16 – 8h + 1 – 2k = 36 – 12h + 25 – 10k
⇒ 4h + 8k = 44
⇒ h + 2k = 11 … (4)
समीकरण (3) और (4) को हल करने पर, हमें h = 3 और k = 4 प्राप्त होता है।
समीकरण (1) में h और k के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(4 – 3)2 + (1 – 4)2 = r2
⇒ (1)2 + (– 3)2 = r2
⇒ 1 + 9 = r2
⇒ r2 = 10
`=> r = sqrt10`
इस प्रकार, अभीष्ट वृत्त का समीकरण है
(x – 3)2 + (y – 4)2 = `(sqrt(10))^2`
x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 10
x2 + y2 – 6x – 8y + 15 = 0
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