Question

बिंदुओं (4, 1) और (6, 5) से जाने वाले वृत्त का समीकरण कीजिए जिसका केंद्र रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है।

Answer 1

माना आवश्यक वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² है।

चूँकि वृत्त बिंदु (4, 1) और (6, 5) से होकर जाती है,

(4 – h)² + (1 – k)² = r²   … (1)

(6 – h)² + (5 – k)² = r²   … (2)

चूँकि वृत्त का केंद्र (h, k) रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है,

4h + k = 16   …(3)

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

(4 – h)² + (1 – k)² = (6 – h)² + (5 – k)²

⇒ 16 – 8h + h² + 1 – 2k + k² = 36 – 12h + h² + 25 – 10k + k²

⇒ 16 – 8h + 1 – 2k = 36 – 12h + 25 – 10k

⇒ 4h + 8k = 44

⇒ h + 2k = 11 … (4)

समीकरण (3) और (4) को हल करने पर, हमें h = 3 और k = 4 प्राप्त होता है।

समीकरण (1) में h और k के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(4 – 3)² + (1 – 4)² = r²

⇒ (1)² + (– 3)² = r²

⇒ 1 + 9 = r²

⇒ r² = 10

`=> r  = sqrt10`

इस प्रकार, अभीष्ट वृत्त का समीकरण है

(x – 3)² + (y – 4)² = `(sqrt(10))^2`

x² – 6x + 9 + y² ­– 8y + 16 = 10

x² + y² – 6x – 8y + 15 = 0