Question

संलग्न आकृति में रेख MN ‘O’ केंद्रवाले वृत्त की जीवा है। MN = 25, जीवा MN पर बिंदु L इस प्रकार है कि, ML = 9 और d(O, L) = 5 तो इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

 

Answer 1

रेख OL को इस तरह बढ़ाओ कि, वह वृत्त को बिंदु A तथा B पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करता है कि, A-L-O तथा L-O-B.

ML = 9, OL = 5, MN = 25 ...............(दत्त)

ML + LN = MN ...........(M-L-N)

∴ 9 + LN = 25

∴ LN = 25 - 9

∴ LN = 16

मानो, AL = x

OA = OL + LA ...............(O-L-A)

∴ OA = (5 + x)

OB = OA ...........(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ OB = (5 + x)

LB = LO + OB ..........(L-O-B)

∴ LB = 5 + (5 + x)

∴ LB = (10 + x)

जीवा AB तथा जीवा MN वृत्त के अंतः भाग में बिंदु L पर प्रतिच्छेदित करते है |

∴ जीवाओं के अंतःछेदन प्रमेय से,

AL × LB = ML × LN

∴ x × (10 + x) = 9 × 16

∴ 10x + x² = 144

∴ x² + 10x - 144 = 0

∴ x² + 18x - 8x - 144 = 0

∴ x(x + 18) - 8(x + 18) = 0

∴ (x + 18)(x - 18) = 0

∴ x + 18 = 0 या x - 8 = 0

∴ x = -18 या x = 8

∵ किसी रेषाखंड की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है |

∴ x = -18 यह अमान्य है |

∴ x = 8

त्रिज्या = OA = 5 + x = 5 + 8 = 13

वृत्त की त्रिज्या 13 है | 

Answer 2

वैकल्पिक विधि :

 

रेख OX ⊥ जीवा MN 

इस प्रकार खींचो कि, M-X-N.

रेख ON खींचो |

रेख OX ⊥ जीवा MN.

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है |

∴ MX = XN = `1/2`MN

∴ MX = XN = `1/2 xx 25`

∴ MX = XN = 12.5 ...............(1)

ML + LX = MX ............(M-L-X)

∴ 9 + LX = 12.5 .............[(1) से]

∴ LX = 12.5 - 9

∴ LX = 3.5

ΔOXL में,

∠OXL = 90° ..........(रचना)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

`"OL"^2 = "OX"^2 + "LX"^2`

∴ `5^2 = "OX"^2 + 3.5^2`

∴ `"OX"^2 = 5^2 - 3.5^2`

∴ `"OX"^2 = 25 - 12.25`

∴ `"OX"^2 = 12.75` ...........(2)

ΔOXN में,

∠OXN = 90° ..........(रचना)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

`"ON"^2 = "OX"^2 + "XN"^2`

∴ `"ON"^2 = 12.75 + 12.5^2`

∴ `"ON"^2 = 12.75 + 156.25`

∴ `"ON"^2 = 169`

∴ ON = 13 ............(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)

∴ वृत्त की त्रिज्या = ON = 13 

वृत्त की त्रिज्या 13 है |