Question

यदि बिंदुओं A(1, –2), B(2, 3), C(a, 2) और D(– 4, –3) से एक समांतर चतुर्भुज बनता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए तथा AB को आधार लेकर उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer 1

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अर्थात, AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु

⇒ `((1 + a)/2, (-2 + 2)/2) = ((2 - 4)/2, (3 - 3)/2)`  ...`["चूंकि, बिंदु वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु"  (x_1, y_1)  "और"  (x_2, y_2)  "is" ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`

⇒ `(1 + a)/2 = (2 - 4)/2 = (-2)/2` = – 1

⇒ 1 + a = – 2

⇒ a = – 3

तो, a का अभीष्ट मान – 3 है।

दिया गया है कि, AB को एक समांतर चतुर्भुज का आधार माना गया है और D से AB तक एक लंब खींचा गया है जो AB को P पर मिलता है।

तो, DP एक समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है।

अब, बिंदु (1, – 2) और (2, 3) से गुजरने वाले आधार AB का समीकरण है।

⇒ (y – y₁) = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)(x - x_1)`

⇒ (y + 2) = `(3 + 2)/(2 - 1) (x - 1)`

⇒ (y + 2) = 5(x – 1)

⇒ 5x – y = 7 ...(i)

AB की ढलान, मान लीजिए, m₁ = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = (3 + 2)/(2 - 1)` = 5

माना DP का ढलान m₂ है।

चूँकि, DP, AB के लंबवत है।

लंबवतता की स्थिति से,

m₁ · m₂ = – 1

⇒ 5 · m₂ = – 1

⇒ m₂ = `-1/5`

अब, DP का समीकरण, जिसका ढलान `(-1/5)` है और बिंदु (– 4, – 3) से गुजर रहा है।

(y – y₁) = m₂(x – x₁)

⇒ (y + 3) = `-1/5(x + 4)`

⇒ 5y + 15 = – x – 4

⇒ x + 5y = – 19   ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्रतिच्छेदन बिंदु P प्राप्त होता है।

समीकरण (i) से y का मान समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है।

x + 5(5x – 7) = – 19   ...[समीकरण (i) का प्रयोग करके]

⇒ x + 25x – 35 = – 19

⇒ 26x = 16

∴ x = `8/13`

x का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है।

y = `5(8/13) - 7 = 40/13 - 7`

⇒ y = `(40 - 91)/13`

⇒ y = `(-51)/13`

∴ बिंदु P के निर्देशांक ≡ `(8/13, (-51)/13)`

तो, समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,

DP = `sqrt((8/13 + 4)^2 + ((-51)/13 + 3)^2`  ...`[∵ "दूरी सूत्र द्वारा, दो बिंदुओं के बीच की दूरी"  (x_1, y_1)  "and"  (x_2, y_2)  "is"  d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`

⇒ DP = `sqrt((60/13)^2 + ((-12)/13)^2`

= `1/13 sqrt(3600 + 144)`

= `1/13 sqrt(3744)`

= `(12sqrt(26))/13`

अतः, एक समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की आवश्यक लंबाई `(12sqrt(26))/13` है।