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प्रश्न
यदि बिंदुओं A(1, –2), B(2, 3), C(a, 2) और D(– 4, –3) से एक समांतर चतुर्भुज बनता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए तथा AB को आधार लेकर उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अर्थात, AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु
⇒ `((1 + a)/2, (-2 + 2)/2) = ((2 - 4)/2, (3 - 3)/2)` ...`["चूंकि, बिंदु वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु" (x_1, y_1) "और" (x_2, y_2) "is" ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`
⇒ `(1 + a)/2 = (2 - 4)/2 = (-2)/2` = – 1
⇒ 1 + a = – 2
⇒ a = – 3
तो, a का अभीष्ट मान – 3 है।
दिया गया है कि, AB को एक समांतर चतुर्भुज का आधार माना गया है और D से AB तक एक लंब खींचा गया है जो AB को P पर मिलता है।
तो, DP एक समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है।
अब, बिंदु (1, – 2) और (2, 3) से गुजरने वाले आधार AB का समीकरण है।
⇒ (y – y1) = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)(x - x_1)`
⇒ (y + 2) = `(3 + 2)/(2 - 1) (x - 1)`
⇒ (y + 2) = 5(x – 1)
⇒ 5x – y = 7 ...(i)
AB की ढलान, मान लीजिए, m1 = `(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = (3 + 2)/(2 - 1)` = 5
माना DP का ढलान m2 है।
चूँकि, DP, AB के लंबवत है।
लंबवतता की स्थिति से,
m1 · m2 = – 1
⇒ 5 · m2 = – 1
⇒ m2 = `-1/5`
अब, DP का समीकरण, जिसका ढलान `(-1/5)` है और बिंदु (– 4, – 3) से गुजर रहा है।
(y – y1) = m2(x – x1)
⇒ (y + 3) = `-1/5(x + 4)`
⇒ 5y + 15 = – x – 4
⇒ x + 5y = – 19 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्रतिच्छेदन बिंदु P प्राप्त होता है।
समीकरण (i) से y का मान समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है।
x + 5(5x – 7) = – 19 ...[समीकरण (i) का प्रयोग करके]
⇒ x + 25x – 35 = – 19
⇒ 26x = 16
∴ x = `8/13`
x का मान समीकरण (i) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है।
y = `5(8/13) - 7 = 40/13 - 7`
⇒ y = `(40 - 91)/13`
⇒ y = `(-51)/13`
∴ बिंदु P के निर्देशांक ≡ `(8/13, (-51)/13)`
तो, समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
DP = `sqrt((8/13 + 4)^2 + ((-51)/13 + 3)^2` ...`[∵ "दूरी सूत्र द्वारा, दो बिंदुओं के बीच की दूरी" (x_1, y_1) "and" (x_2, y_2) "is" d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)]`
⇒ DP = `sqrt((60/13)^2 + ((-12)/13)^2`
= `1/13 sqrt(3600 + 144)`
= `1/13 sqrt(3744)`
= `(12sqrt(26))/13`
अतः, एक समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की आवश्यक लंबाई `(12sqrt(26))/13` है।
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कृति: 
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y = `square/(m + n)`
∴ y = `(3 xx 5 + 1 xx (-3))/(3 + 1)`
∴ y = `(square - 3)/4`
∴ y = `square`
