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प्रश्न
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = `1/2` (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
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उत्तर १
मान लीजिए (3, 0), (4, 5), (−1, 4) और (−2, −1) एक समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष A, B, C, D हैं।
विकर्ण AC की लंबाई = `sqrt([3-(-1)]^2 + (0-4)^2)`
= `sqrt((-4)^2 + (4)^2)`
= `sqrt (16 + 16)`
= `4sqrt2`
विकर्ण BD की लंबाई = `sqrt([4-(-2)]^2+[5-(-1)]^2)`
= `sqrt((-6)^2 + (-6)^2)`
= `sqrt(36+36) `
= `6sqrt2`
इसलिए, समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `1/2xx("विकर्णों का गुणनफल")`
= `1/2xx"AC"xx"BD"`
= `1/2xx4sqrt2xx6sqrt2`
= `1/2xx2xx4xx6`
= 24 वर्ग इकाइयाँ
उत्तर २
मान लीजिए समचतुर्भुज के शीर्ष क्रमशः A(3, 0), B(4, 5), C (-1, 4) और D(-2, -1) दिए हुए हैं।
⇒ AC = `sqrt((-1 - 3)^2 + (4 - 0)^2)`
= `sqrt((-4)^2 + (4)^2)`
= `sqrt(16 + 16) `
= `4sqrt2` मात्रक
एवं BD = `sqrt((-2 - 4)^2 + (-1 - 5)^2)`
= `sqrt((-6)^2 + (-6)^2)`
= `sqrt(36 + 36)`
= `6sqrt2` मात्रक
चूँकि समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `1/2 xx "AC" xx "BD"`
ar (ABCD) = `1/2 xx 4sqrt2 xx 6sqrt2`
= 4 × 6
= 24
वर्ग मात्रक अतः दिए समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक है।
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नीचे दिए गए उदाहरण में रेखाखंड PQ को a : b के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
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यदि P-T-Q है, तो बिंदु T(-1, 6), बिंदु P(-3, 10) और बिंदु Q(6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है, ज्ञात कीजिए।
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यदि बिंदु A(4, –3) तथा B(8, 5) हो, तो रेखाखंड AB को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु P का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: 
x = `(mx_2 + nx_1)/square`
∴ x = `(3 xx 8 + 1 xx 4)/(3 + 1)`
∴ x = `(square + 4)/4`
∴ x = `square`,
y = `square/(m + n)`
∴ y = `(3 xx 5 + 1 xx (-3))/(3 + 1)`
∴ y = `(square - 3)/4`
∴ y = `square`
