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प्रश्न
बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए कि दिए हुए रेखाखण्ड और दी गई रेखा बिन्दु P (x, y) पर परस्पर प्रतिच्छेद करती है तो ∆PAB का क्षेत्रफल शून्य होगा क्योंकि ये सरेख हैं।
⇒ `1/2` [x (-2 - 7) + 2 (7 - y) + 3 (y + 2)] = 0
⇒ -9x + 14 - 2y + 3y + 6 = 0
⇒ 9x - y - 20 = 0 …(1)
⇒ 2x + y - 4 = 0 (दिया है) …(2)
⇒ 11x = 24
⇒ x = `24/11`
मान लीजिए बिन्दु P(x, y), A(2, -2) और B(3, 7) से बने रेखाखण्ड AB को m1 एवं m2 के अनुपात में विभाजित करता है।
⇒ `"x" = ("m"_1"x"_2 + "m"_2"x"_1)/("m"_1 + "m"_1)`
⇒ `("m"_1(3) + "m"_2(2))/("m"_1 + "m"_2) = 24/11`
⇒ `(3"m"_1 + 2"m"_2)/("m"_1 + "m"_2) = 24/11`
⇒ 33m1 + 22m2 = 24m1 + 24m2
⇒ 33m1 - 24m1 = 24m2 - 22m2
⇒ 9m1 = 2m2
⇒ `"m"_1/"m"_2 = 29`
⇒ m1 : m2 = 2 : 9
अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 9 है।
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