Question

सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर, उसकी अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए, रेखा खींची जाए, तो ये दोनों भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।

Answer 1

दिया गया है: मान लीजिए कि एक ΔABC है जिसमें BC के समानांतर एक रेखा DE, AB को D पर और AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करने के लिए: DE दोनों पक्षों को समान अनुपात में विभाजित करता है।

`("AD")/("DB") = ("AE")/("EC")`

रचना: BE, CD को मिलाएँ और EF ⊥ AB और DG ⊥ AC बनाएँ।

प्रमाण: यहाँ,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई

ΔADE का क्षेत्रफल = `1/2` × AD × EF      

या

ΔADE का क्षेत्रफल = `1/2` × AE × DG     

इसी प्रकार,

ΔBDE का क्षेत्रफल = `1/2` × DB × EF      

ΔDEC का क्षेत्रफल = `1/2` × EC × DG     

`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔBDE)" = (1/2 × "AD" × "EF")/(1/2 × "DB" × "EF")`

`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔBDE)" = "AD"/"DB"`    ...(1)

(2) और (4) से,

`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔDEC)" = (1/2 × "AE" × "DG")/(1/2 × "EC" × "DG")`

`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔDEC)" = "AE"/"EC"`   ...(2)

चूँकि, ΔBDE और ΔDEC एक ही समानांतर DE और BC के बीच और एक ही आधार DE पर स्थित हैं।

∴ ar(ΔBDE) = ar(ΔDEC)     ...(3)

(1), (2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है,

`"AD"/"BD" ="AE"/"EC"`

अत: सिद्ध हुआ।