Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर, उसकी अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए, रेखा खींची जाए, तो ये दोनों भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है: मान लीजिए कि एक ΔABC है जिसमें BC के समानांतर एक रेखा DE, AB को D पर और AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करने के लिए: DE दोनों पक्षों को समान अनुपात में विभाजित करता है।
`("AD")/("DB") = ("AE")/("EC")`
रचना: BE, CD को मिलाएँ और EF ⊥ AB और DG ⊥ AC बनाएँ।
प्रमाण: यहाँ,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
ΔADE का क्षेत्रफल = `1/2` × AD × EF
या
ΔADE का क्षेत्रफल = `1/2` × AE × DG
इसी प्रकार,
ΔBDE का क्षेत्रफल = `1/2` × DB × EF
ΔDEC का क्षेत्रफल = `1/2` × EC × DG
`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔBDE)" = (1/2 × "AD" × "EF")/(1/2 × "DB" × "EF")`
`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔBDE)" = "AD"/"DB"` ...(1)
(2) और (4) से,
`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔDEC)" = (1/2 × "AE" × "DG")/(1/2 × "EC" × "DG")`
`"ar(ΔADE)"/"ar(ΔDEC)" = "AE"/"EC"` ...(2)
चूँकि, ΔBDE और ΔDEC एक ही समानांतर DE और BC के बीच और एक ही आधार DE पर स्थित हैं।
∴ ar(ΔBDE) = ar(ΔDEC) ...(3)
(1), (2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है,
`"AD"/"BD" ="AE"/"EC"`
अत: सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:
PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:
PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि `"AM"/"AB" = "AN"/"AD"` है।
आकृति में DE || AC और DF || AE हैं। सिद्ध कीजिए कि `"BF"/"FE" = "BE"/"EC"` है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।(याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि `"AO"/"BO" = "CO"/"DO"` है।
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि `("AO")/("BO") = ("CO")/("DO")` है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
यह दिया है कि `(BC)/(QR) = 1/3` के साथ ΔABC ~ ΔPQR, है। तब `(ar(PRQ))/(ar(BCA))` बराबर ______ है।
सिद्ध कीजिए कि समबाहु त्रिभुज के सभी कोण न्यून कोण होते हैं।
