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प्रश्न
आकृति में, यदि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तथा AB || PS है, तो सिद्ध कीजिए कि OC || SR है।
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उत्तर
प्रश्न के अनुसार,
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है,
इसलिए, PQ || SR and PS || QR.
AB || PS भी दिया है।
साबित करने के लिए:
OC || SR
∆OPS और OAB से,
PS || AB
∠POS = ∠AOB ...[उभयनिष्ठ कोण]
∠OSP = ∠OBA ...[संगत कोण]
∴ ∆OPS ∼ ∆OAB ...[AAA समानता मानदंड द्वारा]
फिर,
मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करना,
हम पाते हैं,
`("PS")/("AB") = ("OS")/("OB")` ...(i)
∆CQR और ∆CAB से,
QR || PS || AB
∠QCR = ∠ACB ...[उभयनिष्ठ कोण]
∠CRQ = ∠CBA ...[संगत कोण]
∴ ∆CQR ∼ ∆CAB
फिर, मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा,
`("QR")/("AB") = ("CR")/("CB")`
⇒ `("PS")/("AB") = ("CR")/("CB")` ...(ii) [PS ≅ QR Since, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है]
समीकरण (i) और (ii) से,
`("OS")/("OB") = ("CR")/("CB")`
या
`("OB")/("OS") = ("CB")/("CR")`
L.H.S और R.H.S में से 1 घटाने पर, हमें प्राप्त होता है,
`("OB")/("OS") - 1 = ("CB")/("CR") - 1`
⇒ `("OB" - "OS")/("OS") = ("CB" - "CR")/("CR")`
⇒ `("BS")/("OS") = ("BR")/("CR")`
SR || OC ...[बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय के विपरीत]
अतः सिद्ध हुआ।
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