Question

आकृति में, यदि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तथा AB || PS है, तो सिद्ध कीजिए कि OC || SR है।

 

Answer 1

प्रश्न के अनुसार,

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है,

इसलिए, PQ || SR and PS || QR.

AB || PS भी दिया है।

साबित करने के लिए:

OC || SR

∆OPS और OAB से,

PS || AB

∠POS = ∠AOB  ...[उभयनिष्ठ कोण]

∠OSP = ∠OBA   ...[संगत कोण]

∴ ∆OPS ∼ ∆OAB   ...[AAA समानता मानदंड द्वारा]

फिर,

मूल आनुपातिकता प्रमेय का उपयोग करना,

हम पाते हैं,

`("PS")/("AB") = ("OS")/("OB")`   ...(i)

∆CQR और ∆CAB से,

QR || PS || AB

∠QCR = ∠ACB   ...[उभयनिष्ठ कोण]

∠CRQ = ∠CBA   ...[संगत कोण]

∴ ∆CQR ∼ ∆CAB

फिर, मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा,

`("QR")/("AB") = ("CR")/("CB")`

⇒ `("PS")/("AB") = ("CR")/("CB")`  ...(ii) [PS ≅ QR Since, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है]

समीकरण (i) और (ii) से,

`("OS")/("OB") = ("CR")/("CB")`

या

`("OB")/("OS") = ("CB")/("CR")`

L.H.S और R.H.S में से 1 घटाने पर, हमें प्राप्त होता है,

`("OB")/("OS") - 1 = ("CB")/("CR") - 1`

⇒ `("OB" - "OS")/("OS") = ("CB" - "CR")/("CR")`

⇒ `("BS")/("OS") = ("BR")/("CR")`

SR || OC  ...[बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय के विपरीत]

अतः सिद्ध हुआ।