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प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में दी हुई पतंग को बनाने के लिए प्रत्येक शेड (रंग) के कितने कागज की आवश्यकता होगी, यदि ABCD विकर्ण 44 cm वाला एक वर्ग है।
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उत्तर
हम जानते हैं कि, वर्ग की सभी भुजाएँ सदैव बराबर होती हैं।
यानी, AB = BC = CD = DA
ΔACD में, AC = 44 cm, ∠D = 90°
ΔACD में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AC2 = AD2 + DC2
⇒ 442 = AD2 + AD2 ...[∵ DC = AD]
⇒ 2AD2 = 44 × 44
⇒ AD2 = 22 × 44
⇒ AD = `sqrt(22 xx 44)` ...[सकारात्मक वर्गमूल लेना क्योंकि लंबाई हमेशा धनात्मक होती है।]
⇒ AD = `sqrt(2 xx 11 xx 4 xx 11)`
⇒ AD = `22sqrt(2)` cm
तो, AB = BC = CD = DA = `22sqrt(2)` cm
∴ वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= `22sqrt(2) xx 22sqrt(2)`
= 968 cm2
∴ लाल भाग का क्षेत्रफल = `968/4` = 242 cm2 ...[चूँकि, वर्ग का क्षेत्रफल चार भागों में विभाजित है।]
अब, हरे भाग का क्षेत्रफल = `968/4` = 242 cm2
पीले भाग का क्षेत्रफल = `968/2` = 484 cm2
ΔPCQ में, भुजा PC = a = 20 cm, CQ = b = 20 cm और PQ = c = 14 cm
`s = (a + b + c)/2`
= `(20 + 20 + 14)/2`
= `54/2`
= 27 cm
∴ ΔPCQ का क्षेत्रफल = `sqrt(s(s - a)(s - b)(s - c))` ...[हीरोन के सूत्र द्वारा]
= `sqrt(27(27 - 20)(27 - 20)(27 - 14))`
= `sqrt(27 xx 7 xx 7 xx 13)`
= `sqrt(3 xx 3 xx 3 xx 7 xx 7 xx 13)`
= `21sqrt(39)`
= 21 × 6.24
= 131.04 cm2
∴ हरे भाग का कुल क्षेत्रफल = (242 + 131.04) = 373.04 cm2
अत:, एक पतंग बनाने के लिए प्रत्येक शेड के लिए आवश्यक कागज लाल कागज 242 cm2, पीला कागज 484 cm2 और हरा कागज 373.04 cm2 है।
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