Question

एक समबाहु त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित किसी बिंदु से तीनों भुजाओं पर लंब डाले जाते हैं। इन लंबों की लंबाई 14 cm, 10 cm और 6 cm हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है और O आंतरिक बिंदु है तथा AQ, BR और CP बिंदु O से खींचे गए लंब हैं जिससे OQ = 10 cm, OR = 6 cm, OP = 14 cm है।

मान लीजिए एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ a cm हैं।

ΔOAB का क्षेत्रफल = `1/2 xx AB xx OP`

= `(1/2 xx a xx 14)cm^2`

= 7a cm²   ...(i)

ΔOBC का क्षेत्रफल = `1/2 xx BC xx OQ`

= `(1/2 xx a xx 10)cm^2`

= 5a cm²   ...(ii)

ΔOAC का क्षेत्रफल = `1/2 xx AC xx OR`

`(1/2 xx a xx 6)cm^2`

= 3a cm²  ...(iii)

∴ ΔABC का क्षेत्रफल = (ΔOAB + ΔOBC + ΔOAC) का क्षेत्रफल

= (7a + 5a + 3a) cm²

= 15a cm²  ...(iv) [From (i), (ii) and (iii)]

समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4 a^2`  ...(v)

(iv) और (v) से,

`sqrt(3)/4 a^2 = 15a`

`\implies a = (60sqrt(3))/3 = 20sqrt(3)`

(v) में `a = 20sqrt(3)` प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है।

ΔABC का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4 (20sqrt(3))^2`

= `300sqrt(3)`

इस प्रकार, एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल `300sqrt(3)  cm^2` है।