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प्रश्न
एक समबाहु त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित किसी बिंदु से तीनों भुजाओं पर लंब डाले जाते हैं। इन लंबों की लंबाई 14 cm, 10 cm और 6 cm हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है और O आंतरिक बिंदु है तथा AQ, BR और CP बिंदु O से खींचे गए लंब हैं जिससे OQ = 10 cm, OR = 6 cm, OP = 14 cm है।
मान लीजिए एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ a cm हैं।
ΔOAB का क्षेत्रफल = `1/2 xx AB xx OP`
= `(1/2 xx a xx 14)cm^2`
= 7a cm2 ...(i)
ΔOBC का क्षेत्रफल = `1/2 xx BC xx OQ`
= `(1/2 xx a xx 10)cm^2`
= 5a cm2 ...(ii)
ΔOAC का क्षेत्रफल = `1/2 xx AC xx OR`
`(1/2 xx a xx 6)cm^2`
= 3a cm2 ...(iii)
∴ ΔABC का क्षेत्रफल = (ΔOAB + ΔOBC + ΔOAC) का क्षेत्रफल
= (7a + 5a + 3a) cm2
= 15a cm2 ...(iv) [From (i), (ii) and (iii)]
समबाहु ΔABC का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4 a^2` ...(v)
(iv) और (v) से,
`sqrt(3)/4 a^2 = 15a`
`\implies a = (60sqrt(3))/3 = 20sqrt(3)`
(v) में `a = 20sqrt(3)` प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है।
ΔABC का क्षेत्रफल = `sqrt(3)/4 (20sqrt(3))^2`
= `300sqrt(3)`
इस प्रकार, एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल `300sqrt(3) cm^2` है।
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