Question

  ` if  f : (-π/2 , π/2)` → R and g : [−1, 1]→ R be defined as f(x) = tan x and g(x) = `sqrt(1 - x^2)` respectively, describe fog and gof.

Answer 1

`g (x) = sqrt (1- x^2)`

⇒ x² ≥ 0, ∀x ∈[−1, 1]

⇒ −x² ≤ 0, ∀x ∈ [−1, 1]

⇒ 1−x² ≤ 1, ∀x ∈ [−1, 1]

We know that 1 - x2 ≥0

⇒ 0≤1 -x2≤1

⇒ Range of g(x) = [0, 1]

So, f : ` ( π/2 , π/2)` → R and g : [−1, 1]→ [0, 1]

Computation of fog :

Clearly, the range of g is a subset of the domain of f.

So, fog : [−1, 1] → R

(fog) (x) = f (g (x))

= f `( sqrt (1 - x^2))`

= tan `sqrt (1 - x^2)`

Computation of gof:

Clearly, the range of f is not a subset of the domain of g.

⇒ Domain (gof) = { x ∈ domain of f and f (x)∈domain of g}

⇒ Domain (gof) =`{ x in ((-π)/2 , π/2)` and tan x ∈ [−1,1] }`

⇒ Domain (gof) =  `{x in((-π)/2 , π/2) and x in (-π)/4 , π/4 )} `

⇒ Domain (gof) = `{x in ((-x)/4 , π/4) ,}`

Now, gof :  `((-x)/4 , π/4)` → R

So, (gof) (x) = g (f (x))

= g (tan x)

= `sqrt(1- tan^2 x)`