Question

2(sin⁶A + cos⁶A) – 3(sin⁴A + cos⁴A) + 1 = 0 हे सिद्ध करा.

Answer 1

sin⁶A + cos⁶A = (sin²A)³ + (cos²A)³

 = (1 – cos²A)³ + (cos²A)³   ......`[(because sin^2"A" + cos^2"A" = 1),(therefore 1 - cos^2"A"  sin^2"A")]`

= 1 – 3 cos²A + 3(cos²A)² – (cos²A)³ + cos⁶A   ......[∵ (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³]

= 1 – 3 cos²A(1 – cos²A) – cos⁶A + cos⁶A

= 1 – 3 cos²A sin²A

sin⁴A + cos⁴A = (sin²A)² + (cos²A)²

= (1 – cos²A)² + (cos²A)²

= 1 – 2 cos²A + (cos²A)² + (cos²A)²   ......[∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]

= 1 – 2 cos²A + 2 cos⁴A

= 1 – 2 cos²A(1 – cos²A)

= 1 – 2 cos²A sin²A

डावी बाजू = 2(sin⁶A + cos⁶A) – 3(sin⁴A + cos⁴A) + 1

= 2(1 – 3 cos²A sin²A) – 3(1 – 2 cos²A sin²A) + 1

= 2 – 6 cos²A sin²A – 3 + 6 cos²A sin²A + 1

= 0

= उजवी बाजू

∴ 2(sin⁶A + cos⁶A) – 3(sin⁴A + cos⁴A) + 1 = 0