Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समांतर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC और DE || BC है।
सिद्ध करना है - चतुर्भुज BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
रचना - बिंदुओं B, C, D और E से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचिए।
प्रमाण - ΔABC में, AB = AC ...[एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ]
⇒ ∠ACB = ∠ABC ...(i)
चूंकि, DE || BC ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇒ ∠ADE = ∠ACB [संगत कोण] ...(ii)
समीकरण (ii) में दोनों पक्षों को ∠EDC से जोड़ने पर, हम पाते हैं।
∠ADE + ∠EDC = ∠ACB + ∠EDC
⇒ 180° = ∠ACB + ∠EDC ...[∠ADE और ∠EDC रैखिक युग्म एनिओम से]
⇒ ∠EDC + ∠ABC = 180° ...[समीकरण (i) से]
अत:, BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है, क्योंकि सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं । B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृतों को A, D और P, Q पर क्रमश: प्रतिछेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति में)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों के केंद्रों की रेखा प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।
एक वृत्त की क्रमशः 5 सेमी 11 सेमी लम्बाई की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।
ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है कि A शीर्षों B, C और D से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है। सिद्ध कीजिए कि ∠CBD + ∠CDB = `1/2` ∠BAD है।
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर है, तो सिद्ध कीजिए कि इसके विकर्ण भी बराबर हैं।
एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के अंतर्गत इस प्रकार है कि AB वृत्त का व्यास है और ∠ADC = 130° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
