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प्रश्न
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समांतर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
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उत्तर
दिया गया है - ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC और DE || BC है।
सिद्ध करना है - चतुर्भुज BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
रचना - बिंदुओं B, C, D और E से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचिए।
प्रमाण - ΔABC में, AB = AC ...[एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ]
⇒ ∠ACB = ∠ABC ...(i)
चूंकि, DE || BC ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
⇒ ∠ADE = ∠ACB [संगत कोण] ...(ii)
समीकरण (ii) में दोनों पक्षों को ∠EDC से जोड़ने पर, हम पाते हैं।
∠ADE + ∠EDC = ∠ACB + ∠EDC
⇒ 180° = ∠ACB + ∠EDC ...[∠ADE और ∠EDC रैखिक युग्म एनिओम से]
⇒ ∠EDC + ∠ABC = 180° ...[समीकरण (i) से]
अत:, BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है, क्योंकि सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
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