Question

यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समांतर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।

Answer 1

दिया गया है - ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC और DE || BC है।

सिद्ध करना है - चतुर्भुज BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है।

रचना - बिंदुओं B, C, D और E से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचिए।

प्रमाण - ΔABC में, AB = AC  ...[एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ]

⇒ ∠ACB = ∠ABC  ...(i)

चूंकि, DE || BC  ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

⇒ ∠ADE = ∠ACB [संगत कोण]  ...(ii)

समीकरण (ii) में दोनों पक्षों को ∠EDC से जोड़ने पर, हम पाते हैं।

∠ADE + ∠EDC = ∠ACB + ∠EDC

⇒ 180° = ∠ACB + ∠EDC  ...[∠ADE और ∠EDC रैखिक युग्म एनिओम से]

⇒ ∠EDC + ∠ABC = 180°  ...[समीकरण (i) से]

अत:, BCDE एक चक्रीय चतुर्भुज है, क्योंकि सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।