Question

प्रथम पद 8 और सार्व अंतर 20 वाली एक AP के प्रथम n पदों का योग एक अन्य AP के प्रथम 2n पदों के योग के बराबर है, जिसका प्रथम पद –30 और सार्व अंतर 8 है। n ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया है, पहले AP(a) का पहला पद = 8

और पहले AP(d) का सार्व अंतर = 20

माना पहले AP में पदों की संख्या n है।

∵ AP के प्रथम n पदों का योग,

S_n = `n/2 [2a + (n - 1)d]`

∴ S_n = `n/2[2 xx 8 + (n - 1)20]`

⇒ S_n = `n/2(16 + 20n - 20)`

⇒ S_n = `n/2(20n - 4)`

∴ S_n = n(10n – 2)   ...(i)

अब, दूसरे AP(a') का पहला पद = – 30

और दूसरे AP(d') का सार्व अंतर = 8

∴ दूसरे AP के पहले 2n पदों का योग,

S_2n = `(2n)/2 [2a + (2n - 1)d]`

⇒ S_2n = n[2(– 30) + (2n – 1)(8)]

⇒ S_2n = n[– 60 + 16n – 8)]

⇒ S_2n = n[16n – 68]     ...(ii)

अब, दी गई शर्त से,

पहले AP के पहले n पदों का योग = दूसरे AP के प्रथम 2n पदों का योग

⇒ S_n = S_2n    ...[समीकरण (i) और (ii) से]

⇒ n(10n – 2) = n(16n – 68)

⇒ n[(16n – 68) – (10n – 2)] = 0

⇒ n(16n – 68 – 10n + 2) = 0

⇒ n(6n – 66) = 0

⇒ n = 11    ...[∵ n ≠ 0]

अतः, n का अभीष्ट मान 11 है।