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प्रश्न
प्रथम पद 8 और सार्व अंतर 20 वाली एक AP के प्रथम n पदों का योग एक अन्य AP के प्रथम 2n पदों के योग के बराबर है, जिसका प्रथम पद –30 और सार्व अंतर 8 है। n ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया है, पहले AP(a) का पहला पद = 8
और पहले AP(d) का सार्व अंतर = 20
माना पहले AP में पदों की संख्या n है।
∵ AP के प्रथम n पदों का योग,
Sn = `n/2 [2a + (n - 1)d]`
∴ Sn = `n/2[2 xx 8 + (n - 1)20]`
⇒ Sn = `n/2(16 + 20n - 20)`
⇒ Sn = `n/2(20n - 4)`
∴ Sn = n(10n – 2) ...(i)
अब, दूसरे AP(a') का पहला पद = – 30
और दूसरे AP(d') का सार्व अंतर = 8
∴ दूसरे AP के पहले 2n पदों का योग,
S2n = `(2n)/2 [2a + (2n - 1)d]`
⇒ S2n = n[2(– 30) + (2n – 1)(8)]
⇒ S2n = n[– 60 + 16n – 8)]
⇒ S2n = n[16n – 68] ...(ii)
अब, दी गई शर्त से,
पहले AP के पहले n पदों का योग = दूसरे AP के प्रथम 2n पदों का योग
⇒ Sn = S2n ...[समीकरण (i) और (ii) से]
⇒ n(10n – 2) = n(16n – 68)
⇒ n[(16n – 68) – (10n – 2)] = 0
⇒ n(16n – 68 – 10n + 2) = 0
⇒ n(6n – 66) = 0
⇒ n = 11 ...[∵ n ≠ 0]
अतः, n का अभीष्ट मान 11 है।
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