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प्रश्न
केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm,……. वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? (π = `22/7` लीजिए।)
[संकेत: क्रमशः केंद्रों A, B, A, B,... वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ l1, l2, l3, l4 हैं।]
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उत्तर
अर्धवृत्त की लंबाई
= अर्ध परिधि = `1/2 (2pir) = pir`
l1 = πr1 = 0.5 π cm = 1 × 0.5 π cm
l2 = πr2 = 1.0 π cm = 2 × 0.5 π cm
l3 = πr3 = 1.5 π cm = 3 × 0.5 π cm
l4 = πr4 = 2.0 c cm = 4 × 0.5 π cm
l13 = πr13 = 13 × 0.5 π cm = 6.5 π cm
सर्पिल की लंबाई = l1 + l2 + l3 + l4 + ... + l13
= 0.5 π [1 + 2 + 3 + 4 + ... + 13] cm ....(1)
∴ 1, 2, 3, 4, ...., 13 AP में इस प्रकार हैं
a = l और l = 13
∴ `S_13 = 13/2 [1 + 13] ....[S_n = n/2 (a + l) "का प्रयोग करके"]`
= `13/2 xx 14`
= 13 × 7
= 91
∴ (1) से, हमारे पास है:
सर्पिल की कुल लंबाई = 0.5 π [91] cm
= `5/10 xx 22/7 xx 91` cm
= 11 × 13 cm
= 143 cm
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