Question

Let A = R - {3} and B = R - {1}. Consider the function f : A → B defined by f(x) = `(x-2)/(x-3).`Show that f is one-one and onto and hence find f^-1.

                    [CBSE 2012, 2014]

Answer 1

We have, 

A = R {3} and B = R - {1}

The function f : A → B defined by f(x) = `(x-2)/(x-3)`

Let x,y ∈ A such that f (x) = f (y). Then,

`(x-2)/(x-3) = (y-2)/(y-3)`

⇒ xy −3x − 2y + 6 = xy − 2x − 3y + 6

⇒ −x = −y

⇒ x = y

∴ f is one − one .

Let y ∈ B. Then, y ≠ 1. 

The function f is onto if there exists x ∈ A such that f (x) = y . Now,

f (x) = y

⇒ `(x-2)/(x-3) = y`

⇒ x - 2 = xy - 3y

⇒ x - xy = 2 - 3y

⇒ x (1 - y ) = 2 - 3y 

⇒ ` x = (2 - 3y)/ (1 - y ) in A       [ y ≠ 1]`

Thus, for any y ∈ B, there exists `(2-3y)/(1-y)` ∈ A such that

`f ((2 - 3y) / (1-y)) = (((2-3y)/(1-y))-2)/(((2-3y)/(1 - y))-3 `= `(2-3y - 2 +2y)/(2-3y -3 +3y) = (-y)/(-1) = y`

∴ f is onto.

So, f is one−one and onto fucntion.

Now,

` As , x = (2 - 3y)/(1- y)`

`so , f^-1 (x) = (2- 3x)/(1 - x) = (3x - 2)/(x-1)`