Question

Let A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 5, 7, 9}; C = {7, 23, 47, 79} and f : A → B, g : B → C be defined as f(x) = 2x + 1 and g(x) = x² − 2. Express (gof)⁻¹ and f⁻¹ og⁻¹ as the sets of ordered pairs and verify that (gof)⁻¹ = f⁻¹ og⁻¹.

Answer 1

f(x)=2x+1

⇒ f= {(1, 2(1)+1), (2, 2(2)+1), (3, 2(3)+1), (4, 2(4)+1)}={(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}g(x)=x²−2

⇒ g= {(3, 32−2), (5, 52−2), (7, 72−2), (9, 92−2)}={(3, 7), (5, 23), (7, 47), (9, 79)}

Clearly f and g are bijections and, hence, f⁻¹: B→A and g⁻¹: C→B exist.

So, f⁻¹= {(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)} 

and g⁻¹= {(7, 3), (23, 5), (47, 7), (79, 9)}

Now, (f⁻¹ o g⁻¹) : C→A

f⁻¹ o g⁻¹={(7, 1), (23, 2), (47, 3), (79, 4)}        ...(1)

Also, f : A→B and g : B → C,

⇒ gof : A → C, (gof) ⁻¹ : C→A

So, f⁻¹ o g⁻¹and (gof)⁻¹ have same domains.

(gof)(x)=g (f (x))=g (2x+1)=(2x+1)²−2

⇒ (gof) (x) = 4x²+ 4x +1−2

⇒ (gof) (x) = 4x²+ 4x −1

Then, (gof) (1) = g (f (1)) = 4+4−1 =7,

(gof)(2)=g (f (2))=4+4−1=23,

(gof)(3)=g (f (3))=4+4−1=47 and 

(gof)(4)=g (f (4))=4+4−1=79

So, gof={(1, 7), (2, 23), (3, 47), (4, 79)}

⇒(gof)−1={(7, 1), (23, 2), (47, 3), (79, 4)}     ......(2)

From (1) and (2), we get:

 (gof)⁻¹ = f⁻¹ o g⁻¹